La construcción del conocimiento para superar las dificultades en el aprendizaje de las funciones matemáticas

1. INTRODUCCION

Si bien no es una problemática detectada en los últimos años, queda claro que el aprendizaje de las funciones matemáticas para los alumnos presenta múltiples dificultades. En este sentido debe hacerse notar que uno de los ejes, quizá el principal, para abordar el problema es considerar la forma en que se construye el conocimiento.

En este trabajo se pretende resumir y analizar la problemática considerando que las dificultades que, desde el punto de vista expresado anteriormente, se presentan en el aprendizaje de las funciones matemáticas no puede quedar aislado de un contexto más amplio como lo es el aprendizaje de la matemática y, más aun, el del conocimiento en general. Un buen punto de partida puede ser desconfiar, al igual que Locke[1], de la idea de que “el pensador puede llegar a la verdad del universo por medio del estudio y la especulación pura”, razón por la que puede sostenerse la necesidad de que los alumnos construyan el conocimiento a partir de una adecuada amalgama de práctica y teoría.

2. DESARROLLO

2.1- PROBLEMÁTICA DE LA EDUCACIÓN

Como base para este estudio, coincidimos con De Guzmán (1984) que la “Educación es desarrollo integral de la persona dentro de un determinado contexto cultural y social”. Comporta por tanto un proceso de transmisión de una cultura y, al mismo tiempo, una preparación para la posible superación de la cultura transmitida, donde dichas características están necesariamente sumergidas en un momento histórico y en un ambiente geográfico y social determinados.

Se suma a esta característica, el hecho que “toda idea - entendida en el lenguaje de Locke como representación o contenido de conciencia - proviene de la experiencia y nada más que de ella”, aspecto que debe considerarse especialmente cuando se pretende explicar la construcción del conocimiento. Es que debe confiarse en las propias observaciones que, por otra parte, tienen la ventaja de “permanecer en nuestro espíritu más fácilmente que las de los comentaristas” como afirma Loughlin (1967), factor que se relaciona con la posibilidad de desarrollar la memoria a largo plazo, como se explica más adelante.

Siguiendo esa línea de razonamiento, en apoyo de la convergencia de la construcción del conocimiento a partir de la experiencia y la formulación de los teóricos, Novak (1986) destaca que “mientas permanecíamos anclados en el conductivismo y positivismo (...) no teníamos necesidad de plantearnos de donde procedían los conceptos, quiénes los creaban y cómo evolucionaba su significado en el tiempo o variaba según el contexto”. Sin embargo las psicologías cognoscitivas y las epistemologías constructivistas nos obligan a tratar estas cuestiones, por cuya causa debemos ayudar a nuestros estudiantes a aprender a construir sus propios conceptos matemáticos con el objeto de superar las dificultades que se presentan en la captación y formulación de nuevos conocimientos en general y, específicamente, de los matemáticos.

Es que nos “estamos desplazando hacia investigaciones que muestran (...) el paralelismo entre la construcción de significados por los estudiantes y la realizada por los propios matemáticos creativos” (Novak; 1986).

2.1.1.- Constructivismo

La expresión constructivismo se refiere “a la idea de que tanto los individuos como los grupos de individuos construyen ideas sobre como funciona el mundo” en oposición al positivismo, positivismo lógico o empirismo que sostiene que el conocimiento verdadero es universal. En este sentido, diversas investigaciones han puesto de manifiesto que los seres humanos construyen de “manera permanente nuevos conocimientos” los que, en cualquier cultura aumenta con el tiempo, aunque no existen estudios concluyentes que posibiliten determinar con precisión cuales “son los procesos mediante los cuales los humanos construyen esos  conocimientos” (Novak; 1986). Sin embargo hasta hace algunas décadas las variedades mas populares de epistemología prestaron una cuidadosa atención a pruebas para validar y falsear y a criterios que debían aplicarse. Estos especialistas, conocidos como positivistas, lógicos o empiristas, pusieron un énfasis central en la prueba y refutación, debiendo tenerse presente que la vigencia de la epistemología positivista fue casi absoluta hasta la mitad del siglo veinte.

Sin embargo cuando Kuhn (1962), publicó su “Estructura de las Revoluciones Científicas” los muros del bastión positivista empezaron a derrumbarse e, incluso, el reconocido integrante de esa corriente de pensamiento, Popper (1982) se alejó de esta escuela remarcando que “todo el mundo sabe en nuestros días que el positivismo lógico esta muerto”.

Acaeció que si bien los positivistas sabían que la comprensión humana se basaba en algo más que en una lógica del descubrimiento, tuvieron graves dificultades para explicar como los humanos construyen conceptos y como sus estructuras conceptuales les permiten ver lo que se ve en sus investigaciones y que constituyen las guías para encarar nuevas investigaciones. Es que crear nuevos conocimientos es, por parte del creador, una forma de aprendizaje significativo siendo esta cuestión el nudo central de este trabajo puesto que esto implica “el reconocimiento de nuevas regularidades en hechos u objetos, la invención de nuevos conceptos, la extensión de los viejos, el reconocimiento de nuevas relaciones (proposiciones) entre conceptos y, en los saltos mas creativos, la reestructuración importante de estructuras conceptuales para ver nuevas relaciones de orden superior” (Novak, 1986).

Consecuentemente podemos afirmar que el constructivismo humano, es un esfuerzo por integrar la psicología del aprendizaje humano con la epistemología de la construcción de conocimientos, por cuya causa en el marco del presente trabajo, que pretende buscar estrategias para superar las dificultades en el aprendizaje de las funciones, debemos centrarnos en el proceso de fabricación de significados que supone adquisición o modificación de conceptos y relaciones entre conceptos.

2.1.2.- Superación de prejuicios

Lo  expresado precedentemente implica, en dirección de la hipótesis que se desea demostrar, que se deben superar conceptos según los cuales “con el ritual euclídeo”, el estudiante está obligado a asistir, en el marco de la enseñanza de la matemática “a una conjura sin hacer preguntas ni sobre el trasfondo ni sobre cómo se realiza el juego de manos”. Es que, según esas nefastas creencias, si el alumno “pregunta sencillamente cómo es que esas definiciones, esos lemas y el teorema pueden preceder a la prueba, el autor del conjuro lo relegará al ostracismo por esa muestra de inmadurez matemática.” (Lakatos, 1978).

Es que si queremos superar las dificultades a partir de la construcción de conocimientos, de ninguna manera podemos continuar admitiendo que “la matemática se presentan como un conjunto siempre creciente de verdades eternas e inmutables, en el que no pueden entrar los contraejemplos, las refutaciones o la crítica”. Donde el tema de estudio “se recubre de un aire autoritario”. Ese superado paradigma era así pues el estilo deductivista al ser aplicado “esconde la lucha y oculta la aventura. Toda la historia se desvanece, las sucesivas formulaciones tentativas del teorema a lo largo del procedimiento probatorio se condenan al olvido mientras que el resultado final se exalta al estado de infabilidad sagrada” (Lakatos, 1978)

Desde la perspectiva positivista, “la Matemática presentada como un sistema de verdades, acabado y ordenado, sin referencia al origen y propósito de sus conceptos y teorías tiene su encanto y satisface una necesidad filosófica”, pero esta actitud introvertida en el campo de la Ciencia no es adecuada para los estudiantes que buscan independencia intelectual más que adoctrinamiento (Courant y John; 1974).

Menospreciar las aplicaciones y la intuición lleva al aislamiento y a la atrofia de la Matemática, siendo en consecuencia “extremadamente importante que tanto estudiantes como maestros se resguarden del purismo presumido”, ya que existe de manera permanente, al acecho, el “grave peligro en el excesivo predominio del carácter axiomático deductivo de la matemática”. Una amenaza seria para la verdadera vida de la Ciencia aparece contenida en la afirmación de que la Matemática no es más que un sistema de conclusiones derivadas de definiciones y postulados que deben ser compatibles, pero que, por lo demás, pueden ser creación de la libre voluntad del matemático, ya que si esta descripción fuese exacta la matemática no podrían interesar a ninguna persona inteligente, ya que “sería un juego con definiciones, reglas y silogismos, sin meta ni motivo alguno” (Courant y Robbins; 1971).

En este trabajo entonces, buscamos devolver al estudio de la matemática, para superar sus dificultades, la aventura de construir el conocimiento a partir de las experiencias personales y el contexto social en el que se desenvuelven los estudiantes, los docentes y las instituciones escolares.

2.2.- PROBLEMAS DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Yendo a la problemática de la enseñanza de la Matemática, debemos analizar cuestiones específicas de esta cuestión para posteriormente ingresar en el tema de las funciones, pero siempre en el marco de las soluciones propuestas por el constructivismo.

2.2.1.- Enseñar Matemáticas

Enseñar Matemáticas significa “suministrar a los niños y a los  jóvenes los instrumentos que les permitan llegar a comprender el sentido de aquellos dramas. No tengo una receta para conseguirlo. En medio de las grandes dudas que he logrado construir como resultado de la dedicación del estudio de la matemática y a su enseñanza, lo único sensato que se me ocurre es el abordaje múltiple: transmitir conocimientos adquiridos y también incitar a una búsqueda socrática por medio de tanteos imperfectos; enseñar técnicas generales de demostración y también plantear problemas adecuados a cada etapa y a cada individuo; educar la memoria racional y también alimentar la imaginación; acostumbrar al educando a convivir con lo exacto y también con lo aproximado, con lo determinista y también con lo fortuito, con la veneración de las grandes obras luminosas y también con el desafío de lo nuevo, lo oscuro y lo desconocido. Tratar con lo puro y con lo complicado, con lo absolutamente abstracto y con las realidades cotidianas, con lo serio y con lo divertido, con lo útil y con lo fantástico. Para embarcarse en esta misión casi imposible, conviene habituarse a poner en tela de juicio todos los dogmas: los viejos y también los nuevos, la escuela regimentada y también la escuela activista, el autoritarismo y también la indisciplina permisiva” (Bosch, J.; 1994).

Avanzando en el convencimiento de la necesidad de integrar la teoría y la práctica con la construcción crítica del conocimiento matemático y, dentro de ellos las funciones, los problemas constituyen un buen instrumento de enseñanza, pero hacer de ellos el eje fundamental es como experimentar permanentemente con nuevos materiales y nuevas técnicas de construcción sin decidirse nunca a erigir un edificio. Fomentar la iniciativa y la creatividad del educando es una recomendación (nada nueva, por otra parte), pero privarlo de un buen conocimiento crítico de las grandes obras de la matemática es como prohibir a quienes se inician en la pintura el contacto con las obras de Rembrandt, de Monet o de Picasso. Atormentar al alumno con una lista interminable de axiomas, definiciones, y teoremas no es bueno, pero tampoco lo es condenarlo e ignorar el mecanismo sutil de los teoremas y la manera peculiar en que estos se organizan para constituir las teorías (Bosch, J.; 1994).

Por supuesto que el motor principal en la formación del conocimiento es el profesor de matemática, cuyo papel no debe ser reducido a un simple “transmisor de conocimientos”. Por el contrario, su acción principal debe consistir en motivar a los alumnos para que sean ellos quienes busquen esos conocimientos en los soportes que la escuela tiene el deber de proporcionar: libros, paquetes informáticos, videos, naturaleza, comunidad social, entre otras herramientas, sin despreciar a ninguna. Asimismo deberá convertirse en un orientador eficiente, para proporcionar a cada alumno las pistas adecuadas, que le permitan encontrar la información más relevante para la resolución de cada problema planteado, e igualmente para que el alumno pueda seguir adelante cuando se encuentra en un atolladero del que no puede salir por si solo, ni con la ayuda de otros compañeros (Molina García; 1998).

Tampoco puede dejar de mencionarse que en este tipo de procesos es fundamental que el tema presentado a los alumnos pueda ser visto por ellos, ya que  “tanto en la enseñanza de las ciencias como en la de la matemática, la materia es por norma conceptualmente opaca”; o sea, los alumnos (y a menudo, también los profesores) rara vez visualizan la estructura de los conceptos y las relaciones entre conceptos que dan sentido a los enunciados que memorizan o los problemas matemáticos que resuelven aplicando algún algoritmo. Para que pueda ser aprendida significativamente, la materia debe ser conceptualmente transparente. La materia no es simplemente materia. Dependiendo de cómo se exponga, puede resultar conceptualmente transparente u opaca. En la enseñanza de la matemática es más bien lo segundo. Por esta causa los estudiantes necesitan ayuda para construir y aplicar las estructuras conceptuales jerarquizadas a la interpretación de los hechos, enunciados y reglas de procedimiento que memorizan. En la secuencia de los actos educativos tiene cabida el aprendizaje memorístico, cuando se identifica por primera vez una regla o principio, pero después debe procederse rápidamente a averiguar lo que dicha regla o principio significa  para permitir la construcción de nuevos conocimientos y la posibilidad de utilizar la memoria a largo plazo (Novak, 1991).

Es que en muchos aspectos de la escolarización formal, el aprendizaje es esencialmente de naturaleza memorística, pero referido al corto plazo. Premiados por sus respuestas “correctas” a ejercicios repetitivos y preguntas sin sentido, la mayoría de los estudiantes, y las alumnas más que los alumnos, van tomando actitudes hacia el aprendizaje que se apartan progresivamente de su mundo de experiencias y de las estructuras de significados que han construido hasta entonces, y se van convirtiendo posteriormente en aprendices mecánicos, sobre todo en lo relativo a las ciencias y la matemática.

Es claro, sin embargo, que la situación apuntada no nos debe llevar a extremos, ya que la enseñanza de la matemática debe contemplar su aspecto “informativo”, que consiste en dar los elementos que se estimen necesarios para desenvolverse en la vida o que necesiten otras ciencias para su comprensión y desarrollo, y el aspecto “formativo”, para enseñar a pensar, fomentar el espíritu crítico y practicar el razonamiento lógico, pero de ninguna manera puede ser concebida como una exclusiva cuestión de cálculos, ni un cúmulo de definiciones y teoremas de enunciado complicado y contenido vacío o trivial, ya que, antes que nada, interesar al alumno, “por encima de todo, hay que enseñar a razonar” (Santaló; 1966).

2.2.2.- La persona en el centro de la escena

Un aspecto que es imprescindible tener presente en la enseñanza de la Matemática, como de cualquiera de las disciplinas, es que la persona siempre se encuentra – o debiera encontrarse – en el centro de la escena, inserta en un contexto cultural y social. Es para esa persona, que encarna a todos los ciudadanos “no ya solamente educados, sino permanentemente educables” (Salonia, A; 1992), que debemos crear una educación matemática mejor que la que tuvimos antes, porque el aspecto “fundamental de toda educación son las personas y la educación matemática no es una excepción.” (Bishop, 1988) 

En nuestro mundo, cada día más tecnológico, la educación ha sido desarrollada para servir a las necesidades de la tecnología, bien de una manera directa, bien indirectamente a través de estructuras sociales creadas para potenciarla. La educación matemática ha sido, por supuesto, muy importante en este desarrollo, ya que la ciencia y la tecnología dependen de las ideas matemáticas.

Así, la enseñanza de la matemática se ha ido gradualmente convirtiendo más y más en preparación matemática, insistiendo en instruir a los alumnos en como, mediante métodos matemáticos correctos, obtener resultados adecuados.

También ha resultado una preparación muy selectiva, y, así, solo aquellos estudiantes que tienen la habilidad de obtener muchas respuestas correctas pueden seguir hacia matemáticas mas elevadas. Lo que agrava todo esto es que esta preparación matemática no es tan eficiente como a veces se podría pensar, ya que los estudiantes fracasan al aprender técnicas matemáticas sin construir los conocimientos que deriven en los mecanismos para obtener resultados correctos. En el colmo del absurdo, algunas corrientes de opinión indican que la matemática no son para ser estudiadas o para disfrutar de ellas, sino mas bien para ser sufridas como una tortura necesaria para la mente (Bishop; 1988)

Claramente, la matemática es importante en nuestro currículo escolar, como ocurre en todos los países. La matemática no es tan mala o tan buena en sí mismas. Son, simplemente, parte del conocimiento humano, que debe estar al servicio de la persona de manera permanente, por cuya causa necesitamos reexaminarnos y desarrollar alternativas en la enseñanza de la matemática, nuevos caminos para este proceso que debe partir del concepto que es la persona, como elemento central, quien debe construir los conocimientos.

2.2.3.- La Matemática es actividad

Para iniciar el camino debemos comprender que la matemática es esencialmente actividad, puesto que es de manera especial método de pensamiento para resolver situaciones-problemas reales y mentales. La actividad matemática se ejercita mediante el enfrentamiento con problemas adecuados al estadio del desarrollo del individuo que la practica. Lo mas importante es, por tanto, hacer y hacer de tal modo que el individuo quede capacitado para realizar de modo autónomo e, incluso, para ir mas allá, elaborando nuevos conocimientos (De Guzmán; 1984).

Avanzando un paso más respecto de la elección del método de enseñanza más adecuado, deberá considerarse fundamentalmente aquel que mejor estimule la actividad intelectual del individuo y éste es el basado fundamentalmente en problemas y aplicaciones entroncadas en situaciones de interés para él, que le permitan ascender por el camino del saber por sus propios medios. “Únicamente bajo una disciplina de responsabilidad frente a un todo orgánico, guiada sólo por necesidades intrínsecas, puede la mente libre obtener resultados de valor científico” (Courant y Robbins, 1971).

2.2.4.- Las escalas sociales

En este sentido, buscando encontrar una vía alternativa para la construcción del conocimiento matemático, se debe considerar que tanto los aspectos sociales como los culturales están relacionados con ello y, en particular, ambos tratan de las personas involucradas directas o indirectamente en la educación matemática. Es adecuado, en este sentido, tener presente la descripción de las distintas escalas de la  dimensión social que efectúa Bishop (1988).

A escala individual, el aprendizaje del individuo está influenciado por el aprendizaje de los demás. Todos sabemos lo importante que son los otros estudiantes y la interacción entre los alumnos. Es particularmente significativo en relación con los sentimientos, opiniones, actitudes y aspectos afectivos en general.

En una segunda escala, la clase como grupo de personas presenta aspectos sociales significativos. El papel de maestros y profesores es muy importante desde la perspectiva de los educandos, ya que ellos se estimulan o desalientan, según las expectativas que sus profesores tienen de ellos. Esto nos indica que necesitamos usar más métodos de enseñanza de grupos reducidos. Debemos dejar que los alumnos, bajo el control del profesor, se formen unos a otros, dialoguen más, trabajen en proyectos de grupo, y adquieran más responsabilidad en la construcción y el desarrollo de su propio conocimiento.

En la siguiente escala social, la del centro o institución de enseñanza, lo más importante son las relaciones entre los profesores, y entre éstos y los demás responsables del centro.

En la cuarta escala social nos movemos fuera de la institución educativa, dentro de lo que es la sociedad en su sentido mas amplio, debiendo tenerse presente que cada país tiene sus propios planes políticos, económicos y sociales, por cuya razón es importantísimo no caer en la tentación de transferir ideas ciegamente de una Nación a otra. No hay duda, por tanto, de que la política juega un papel importante en la determinación del tipo y la calidad de la enseñanza de la matemática.

La quinta escala nos lleva a la cultura, que es la otra importante área general. El criterio general mantenía que la matemática era un conocimiento independiente del entorno cultural. Después de todo, se argumentaba “menos por menos es igual a mas”, en todas partes. Sin embargo este punto de vista confundía la “universalidad de la verdad” de las ideas matemáticas, con la base cultural de este conocimiento, ya que las ideas matemáticas tienen una historia cultural. Esto puede apreciarse en los centros escolares de muchos países, donde el currículo escolar refleja, como consecuencia de determinadas presiones, la naturaleza multicultural de sus sociedades. Los currículos de matemáticas, sin embargo, han cambiado lentamente, debido en parte al malentendido descrito anteriormente, por cuya razón – aunque este sea un tema de otro análisis más profundo – es una necesidad urgente encontrar los caminos del currículo de matemáticas “multicultural”, ya que desde el punto de vista educativo, debemos empezar a pensar en la educación matemática como un posicionamiento de los alumnos en una parte de su cultura”.

Para finalizar este parágrafo, se debe agregar en forma adicional, que independientemente de cualquier estrategia aplicada para el mejoramiento en la formación del conocimiento matemático resulta indispensable cumplir con algunos objetivos como los siguientes:

a)  Iniciar en la matemática formativa.

Hay que tender a que los alumnos no solamente operen, sino que piensen y empiecen a razonar.

La enseñanza “formativa” va de la mano con la enseñanza “activa”. El alumno debe participar en el aprendizaje para construir el conocimiento, debe sentirse motivado por los problemas y debe intentar resolverlos por si mismo, apelando a todos los recursos a su alcance y no pensando en recordar tal o cual formula o regla de las que ha aprendido y figuran en el texto o manual. Los conocimientos no deben ser puestos a presión, sino adquiridos a través de la curiosidad del alumno, quién, afortunadamente, tiene siempre curiosidad para cualquier cosa que le sea presentada adecuadamente.

b)  Actualizar las aplicaciones de la matemática.

De ninguna manera hay que pensar que la matemática actual descuida el calculo rutinario sin comprensión de los que se esta haciendo y, por otro lado, tratar problemas realmente prácticos y menos idealizados. El progreso en matemáticas no consiste en aumentar el numero de decimales en una operación, ni la rapidez en la misma, sino en dominar nuevas operaciones y entender el porque de su necesidad o utilidad, posibilitando la mencionada construcción, evitando el conductivismo alienante.

2.3.- DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS FUNCIONES

Para iniciar la última etapa de este trabajo, donde se aplicarán los conceptos y recomendaciones anteriores a un aspecto específico de la Matemática, se estima adecuado para explicar los motivos que nos llevaron a encarar la presente temática, recordar que “el capítulo que parece más difícil de redactar es el de las funciones que, en nuestros días, no es un capítulo de la Matemática, porque se puede decir, sin exagerar, que es la Matemática en sí, y que todo parece girar a su alrededor. Desempeña en la Matemática un papel análogo al del Sol en el sistema solar. Es indudable que Venus o Marte no son el Sol y que se puede hablar de esos planetas por sí mismos, pero es inconcebible su existencia independientemente de la del Sol. No hay ninguna parte de la Matemática que el análisis de las funciones no pueda explicar” (Pelletier; 1958).

2.3.1.- Pensamiento funcional

Tras el breve exordio que explicita sintéticamente la motivación esencial de este documento, es importante recordar que a partir del llamado “pensamiento funcional”, nacido en Alemania hace algunas décadas bajo la dirección del matemático Félix Klein, se buscó la manera de lograr que los estudiantes pensaran en términos de variables y funciones, intentando además proyectar esta posición a la vida cotidiana, pero apartándose del conductivismo para proyectarse en el constructivismo.

Esta posición se relaciona con los descubrimientos de la Psicología, que señalan que la memoria humana no es un simple recipiente vacío para ser llenado, sino que se trata de una conjunto interactivo de tres sistemas de memoria: la memoria sensorial (un segundo), la memoria a corto plazo (de uno a 30 segundos), con un límite entre 5 y 9 trozos independientes, y la memoria a largo plazo (desde unos minutos hasta toda la vida) (Molina García; 1998).

Esto significa que en la enseñanza de las ciencias y la matemática, en general y, en particular en el caso de las funciones, nos enfrentamos, a grandes cuerpos de materia con unos altos niveles potenciales de interrelaciones, debiéndose prestar particular atención a las limitaciones de la memoria de corto plazo, que podrían ser superadas con la construcciones de conocimientos a partir de la aplicación del concepto matemático de función. De esta manera se lograría salvar tanto los problemas derivados del aprendizaje de este tema como aspectos imbricados con la memoria a corto plazo.

Es que “hasta los einsteins y los hilberts sólo pueden procesar unos siete fragmentos de información en la memoria funcional, en la que tiene lugar la elaboración de significados. La diferencia fundamental entre los genios y nosotros los mortales corrientes estriba en que los genios han estructurado sus conocimientos en la memoria a largo plazo de forma que puedan trabajar con grandes trozos, o sea, potentes conceptos, principios o teorías” (Molina García; 1998). En otros términos, construyendo conocimientos a partir de la vinculación entre variables los estudiantes podrán mejorar la memoria a largo plazo mediante el eso de las funciones, lográndose el objetivo primario de superar las dificultades en el estudio de este tema matemático pero asimismo obtener mejores rendimientos en otras áreas del conocimiento.

2.3.2.- Concepto de función

En este punto es importante recordar que, desde el punto de vista matemático que puede extenderse hacia otros campos de la ciencia, una función describe el modo como una variable y depende de otra variable x; o, dicho más general, como se proyecta una variedad desde el campo de un elemento variable, sobre otra (o la misma) variedad. Esta idea de función, proyección o representación, es sin duda uno de los conceptos fundamentales que acompañan tanto a la matemática como otras disciplinas en sus pasos de teoría o de aplicación, por cuya causa se estima esencial su aprehensión a partir de la construcción de sus conceptos y la utilización para el desarrollo del conocimiento a largo plazo.

Un ejemplo clásico de las funciones es el descubrimiento de Galileo Galilei quien expresó la ley cuadrática de caída libre, según la cual el espacio recorrido por un cuerpo que cae libremente en el vacío, es una función cuadrática del tiempo transcurrido desde que se soltó. Mediante esta ley, Galileo convirtió una ley natural contenida en el movimiento efectivo de los cuerpos en una función matemática cuyo concepto esencial los estudiantes deben construir a partir de una participación activa bajo la dirección de los docentes.

En este caso, como en otros que se pueden elaborar, se encuentran los siguientes rasgos característicos del proceso de formulación de una función matemática:

1. Variables, como el tiempo (t) y el espacio (s), cuyos valores posibles pertenecen al campo de los números reales, que podemos repasar enteramente porque es un campo nacido de nuestra propia y libre construcción.
2. La representación de esas variables por símbolos.
3. Funciones, o proyecciones o representaciones, construidas del campo de una variable t sobre el campo de otra, s. El tiempo es la variable independiente por antonomasia.

En consecuencia, al estudiar una función hay que dejar que la variable independiente recorra todo su campo. Una conjetura acerca de la interdependencia de cantidades de la Naturaleza puede examinarse en el pensamiento, incluso antes de someterla a la prueba de la experiencia, por el procedimiento de estudiar si se cumple a través de todo el campo de las variables independientes (Molina García; 1998).

Además la mayoría de las variables, tal como indica el pensamiento funcional, de las que nos ocupamos en el análisis de la Naturaleza son variables continuas, como el tiempo, pero aunque la palabra tienda a sugerirlo, el concepto matemático no se restringe al caso de la variable continua.

2.3.3.- Inconvenientes culturales

Otro de los aspectos fundamentales que, tal como expresara en la primera parte de este documento, deben tenerse en consideración para la construcción del concepto de función son los inconvenientes derivados de los esquemas conceptuales de los educandos.

Al respecto Azcárate Giménez (1993) realizó un estudio sobre esta cuestión donde destaca que “de las respuestas de los alumnos, lo primero que llama la atención es que sus expresiones adolecen de graves problemas lingüísticos, tantos sintácticos como léxicos, y, sobre todo, que contrastan con el sentido convencional de rigor científico de los adultos. Hemos constatado que buena parte de los alumnos se expresan confusamente lo cual se manifiesta en la utilización de un vocabulario inadecuado o incorrecto, desde el punto de vista de las definiciones científicas”. Esta falta de homogeneidad en el léxico de los alumnos revela que existe una confusión importante en lo que atañe a conceptos básicos relacionados con el estudio analítico de funciones.

Estas constataciones tienen importantes consecuencias en el planteamiento didáctico de un tema como el de una función. En efecto, si estamos convencidos del carácter constructivo del conocimiento, debemos planificar unas secuencias de enseñanza que produzcan un aprendizaje significativo, para lo cual es imprescindible tener en cuenta la competencia cognitiva de los alumnos, una de cuyas características son los conocimientos anteriores y la capacidad de expresión verbal de los mismos.

En ese mismo sentido los jóvenes tienen que reconocer las vaguedades de sus creencias verbales y aprender a pensar más concretamente, ya que solamente si consiguen este objetivo serán capaces de dar el paso de la abstracción, en el cual las ideas intuitivas se sustituyen por construcciones puramente simbólicas. “Las palabras son herramientas peligrosas, creadas para las necesidades de nuestra vida cotidiana” debiéndose a partir de la activa participación de los alumnos, “atravesar la niebla de las palabras abstractas para alcanzar la roca concreta de la realidad” (Bishop; 1988).

Por ejemplo el primer paso en la explicación de la teoría de la relatividad a partir del concepto de función tiene que consistir siempre en destruir la creencia dogmática en los términos temporales pasado, presente y futuro. Es imposible aplicar la matemática mientras las palabras sigan escondiendo como nubes la realidad. En este segundo paso hay que sustituir la imagen intuitiva por una construcción simbólica ya que nuestra concepción del espacio depende de una captación constructiva de todos los lugares posibles, de un modo parecido a la concepción de los números naturales.

2.3.4.- Construcción de funciones

La matemática y su parte esencial como explicáramos, a pesar de su edad, no esta ni mucho menos condenada a una esclerosis progresiva por su complejidad creciente, sino que sigue intensamente viva, y se alimenta por las profundas raíces que tiene en la mente y en la naturaleza, esto es, en la teoría y en la práctica.

Esa aparente imprecisión, que debe considerarse como elemento previo a la construcción de las funciones, deriva de su dualidad entre ciencia natural, que persigue encontrar y entender las leyes de la naturaleza, y filosofía o arte, en el sentido mas puro y platónico de estas disciplinas, puesto que hace matemática quien a partir de unos datos numéricos calcula un área o un volumen o el tiempo necesario para que un proyectil alcance su meta, pero también hace y practica matemática quien busca propiedades de los números primos, establece teoremas sobre figuras geométricas o aclara la equivalencia entre postulados básicos de la teoría de conjuntos.

Aparentemente, esta dualidad de la matemática, podría pensarse como una consecuencia de su extensión y que, por tanto, sus distintos aspectos son partes alejadas de un mismo cuerpo original, cada día más distanciadas entre sí. Pero el distanciamiento y poca conexión entre sus partes son solo aparentes y de manera significativa se aúnan en las funciones en sus diversas expresiones. Es así que la unidad de la matemática es indisoluble y poco se puede avanzar en una dirección si se pierden de vista las otras ramas hermanas. Las aplicaciones son el estimulo y muchas veces la guía de la matemática pura en general y las funciones en particular. Pero sin ésta, la matemática aplicada se agota rápidamente, se convierte en poco tiempo en cúmulo de recetas rutinarias, sin perspectiva de progreso (Molina García, 1998).

Por esta causa, a partir de la introducción de los conceptos teóricos básicos por parte de los docentes, que despierten el interés por aprender a aprender, deberá construirse el concepto de función mediante el trabajo en equipo y la participación activa de todos los estudiantes y su relación con el contexto social y su cultura, teniendo además presente que el prurito de exactitud, es a veces ilusorio y muchas veces innecesario. Por esta causa, también se debe incorporar la enseñanza de las funciones aproximadas, para lograr una mayor aproximación a la vida real, ya que la matemática de hoy no puede desentenderse de los problemas a los que no puede dar respuesta exacta, que son la mayoría de los que se presentan en la práctica, sino que trata de decir algo sobre todos ellos, sea en términos de probabilidad, sea dentro de un intervalo de valores.

Esto significa que para superar las dificultades en el aprendizaje de las funciones mediante la construcción de conocimientos los docentes deben cuidar la matemática de aproximación y no desechar los resultados aproximados ya que no se puede pretender dar, en todos los casos, soluciones exactas para la mayoría de los problemas reales. “Es mucho si podemos predecir los resultados con cierto grado de aproximación, debiendo aplicarse el concepto de las funciones matemáticas no solo al mundo inanimado, sino también a la vida” (Weyl;  2001).

Es que mediante las funciones no solamente se trata de resolver los mismos problemas que la clásica, sino que especialmente desea atender los que se presentan en la vida diaria, aunque no pueda darles solución exacta, ya que la actual posición es, como se expresara, no tener miedo de salirse de la exactitud de la matemática tradicional para usar métodos mas amplios y diversos, si es que resultan necesarios. Siguiendo este camino y tras conocer aspectos teóricos esenciales, los alumnos deben hallar volúmenes de cuerpos irregulares, por ejemplo midiendo la cantidad de agua que desalojan en una probeta graduada como también determinar las capacidades de jarras y vasijas de forma irregular, por el volumen o el peso del agua que pueden contener, estableciendo relaciones y, a partir de las mismas, construyendo el concepto de función.

Es que hay que medir desde la longitud del lápiz y las dimensiones del asiento, hasta la altura del alumno y las dimensiones del patio de la escuela, para con estos datos sobre los objetos reales se pueden enunciar problemas también reales y determinar con claridad las funciones que vinculan esos guarismos. En este tipo de problemas se pone en juego la inventiva de cada alumno para llegar al resultado y construir los conceptos, siendo ellos la verdadera matemática, mucho más que le recitado de memoria de lo que es una ley asociativa o de un postulado geométrico. En este marco el papel cuadriculado puede servir para medir muchas áreas irregulares: el área del pie del alumno o de su mano. Todo lo que se refiere a su persona, el alumno lo aprenderá con interés y difícilmente lo olvidara (Weyl; 2001).

La matemática y, específicamente las funciones, deben empezar por la intuición y, para ello, los métodos gráficos son de importancia capital. Desde los primeros años de la enseñanza el alumno debe graficar. Diagramas de Venn, gráficos en árbol, gráficos de funciones, representaciones a escala y cuestiones análogas deben ser de constante uso. La fórmula del área del circulo, por sí sola, no da idea completa de su contenido si no se gráfica en función del radio, por ejemplo. En todos los casos, aparte de que las gráficas obtenidas pueden servir para interpolar y extrapolar áreas y longitudes para distintos valores del radio, deben ser utilizadas para construir los conceptos fundamentales que serán empleados en otras situaciones más frecuentes en la vida real como también en otras ciencias, concretando las relaciones que ayuden al desarrollo de la memoria del largo plazo.

Es que para aprender técnicas destinadas a resolver problemas la teoría de grafos y las funciones presenta ingeniosos métodos que, a manera de juego, ilustran sobre profundas ideas de topología, combinatoria y otras ramas de las ciencias.

2.3.5.- Construir el conocimiento

Tomando como base las exposiciones anteriores, podemos afirmar que para enseñar las funciones, los alumnos deben tener, como expresa Sadovsky (2002) "una participación más activa en la producción del conocimiento”, ya que en la enseñanza tradicional, a los chicos se les impartía un concepto, por ejemplo la regla de tres simple, y luego se les daba una serie de problemas donde tenían que aplicar el concepto aprendido. En el enfoque que se propone en este trabajo se deben desarrollar actividades en el aula en las cuales los estudiantes deban tomar decisiones acerca de los conceptos que tiene que utilizar para resolver una situación, y  hacerse cargo de validar por sí mismos la producción que han realizado, puesto que el proceso de construcción de un conocimiento matemático comienza a partir del conjunto de actividades intelectuales que el alumno pone en juego frente a un problema para cuya resolución le resultan insuficientes los conocimientos de los que dispone hasta el momento.

Resulta esencial que los chicos aprendan a moverse entre diferentes formas de representación para abordar un problema, que sean capaces de seleccionar aquélla que resulte más fértil para resolver la situación que se les propone; que puedan, por ejemplo, plantear de manera algebraica un problema geométrico o que se den cuenta de que a veces la representación gráfica de un conjunto de ecuaciones provee bastante información respecto de la solución de ese sistema (Sadovsky; 2000).

Pero además debe aclararse que un chico no aprende a pasar de una representación a otra en forma espontánea, sino que es el docente el que debe propiciar este trabajo. Es que debe recordarse que generalmente, en la enseñanza tradicional, el tipo de representación que se utiliza viene dado en el enunciado mismo del problema, el alumno no decide nada al respecto. La idea central en este enfoque es que el alumno capte el sentido de un concepto, es decir, que entienda qué tipo de problemas puede resolver a través de él y cuáles no puede resolver si lo usa. Además, que sepa cómo juega ese concepto junto con otros conceptos cercanos que se emplean para resolver problemas más o menos similares.

Es fundamental que el alumno pueda recuperar los conceptos y aplicarlos en otras situaciones. "La resolución de problemas es central, pero si en la clase no se reflexiona acerca de ellos, no se confrontan distintas estrategias producidas por los diferentes alumnos, no se alienta a los estudiantes a que propongan argumentos que muestren la validez de sus resultados, no se los invita a revisar lo que se ha hecho hace algún tiempo y relacionarlo con lo que se está haciendo en ese momento, es difícil que los alumnos puedan transferir los conceptos aprendidos a situaciones nuevas", (Sadovsky; 2000).

En muchas clases de matemática, los alumnos resuelven ejercicios que vienen formulados en una guía y las únicas interacciones que se propician se limitan a corregir los resultados. La falta de discusión, de debate, empobrece la actividad del aula. La explicitación hace posible tomar conciencia del conocimiento, permite nombrarlo, hacerlo público y hablar de él. Defender el propio punto de vista en una situación en la que se confrontan diferentes perspectivas compromete al estudiante en la producción de argumentos que no se elaborarían si sólo tuviera que convencerse a sí mismo de la validez de sus resultados.

Hay rasgos esenciales del quehacer matemático, en especial en el caso de la formulación de funciones, que la escuela tiene la obligación de hacer conocer. "Construir herramientas que permitan obtener resultados sobre aspectos de la realidad sin necesidad de realizar experiencias efectivas, y responsabilizarse matemáticamente por la validez de esos resultados, son dos aspectos ineludibles del quehacer matemático escolar, en especial vinculado al aprendizaje de las funciones escolar. Dicho de otro modo, el chico, ante una situación, se hace preguntas, toma decisiones, encuentra límites, hace propuestas, decide la forma de representación y de la forma que adopta la función y, finalmente, fundamenta sus resultados.

Es importante aclarar, por si quedan algunas dudas al respecto, que no estamos obviando el papel del docente que enseña y explica. La idea es que el docente proponga una situación y explique cuando se ha generado una necesidad, luego de que los chicos vieron que las herramientas de las que disponían son insuficientes para resolver el problema.
Obviamente esto requiere del docente una preparación especial. En la enseñanza tradicional se enseña aquello que es fácilmente controlable y evaluable. En cambio, en este nuevo enfoque se plantean situaciones abiertas, y el educador tiene que estar dispuesto a que surjan en el aula diversidad de propuestas, algunas correctas, y otras, no. Gestionar esta diversidad es, sin duda, una tarea compleja. "Es importante disponer de un docente formado, y que haya un contacto profundo entre la investigación y la capacitación docente" (Sadovsky; 2000).

3.- CONCLUSIÓN

Podemos concluir entonces que para superar las dificultades en la enseñanza y en el aprendizaje de las funciones matemáticas y extenderlas a todo el campo de la vida diaria, se deben construir los conocimientos relacionados a partir de la experiencia y la cultura de los alumnos, con una activa participación de los mismos bajo la atenta dirección de los profesores, en un contexto general de aprender a aprender de manera permanente.

4.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Azcárate Gimenez, C. (1993). “Pendiente de una recta: Estudio de los esquemas conceptuales que tienen unos alumnos de Segundo de BUP”. Número extraordinario del IV Congreso internacional sobre investigación en la Didáctica de las Ciencias y de la Matemática. pp. 307-308.

Bishop, A. J. (1988). “Aspectos sociales y culturales de la educación matemática”. Enseñanza de las Ciencias. Vol. 6 (2). pp. 121-125.

Bosch, J. (1994). Prólogo en Enfoques hacia una didáctica humanista de la Matemática. Argentina. Troquel.

Courant, R. y John, F. (1974). Introducción al cálculo y al análisis matemático. México. Limusa.

Courant, R. y Robbins, H. (1971). ¿Qué es la Matemática?. España. Aguilar.

De Guzmán, M. (1984). “El papel de la matemática en el proceso educativo”. Enseñanza de las Ciencias. Vol. 4(2). pp. 91 –95.

Kuhn, T. (1962). Estructura de las Revoluciones Científicas. Argentina. Fondo de Cultura Económica.

Lakatos, I. (1978). Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. España. Alianza Universidad.

Loughlin, L. C. (1967). La educación en Locke. Argentina. Huemul.

Molina García, S. (1998). Escuelas sin fracasos. Argentina. Aljibe.

Novak, J. D. (1986). “The importance of emerging constructivist epistemology for mathematics education”. Journal of Mathematical Beha-
vior. Vol. 5. pp. 181-184.

Novak, J. D. (1988). “Constructivismo humano: Un consenso emergente”. Enseñanza de las Ciencias. Vol. 6 (3). pp. 213-223.

Novak, J.D. (1991). “Ayudar a los alumnos a aprender cómo aprender”. Enseñanza de las Ciencias. Vol. 9 (3). pp. 215-228.

Pelletier, J. L. (1958). Etapas de la Matemática. Argentina. Losada.

Popper, K.; La Lógica de la Investigación Científica.

Sadovsky, P. (2000). Formación e Investigación de la Enseñanza de las Ciencias. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.

Salonia, A. (1992). La descentralización de la educación argentina. Argentina.

Santaló, L. A. (1966). La Matemática en la escuela. Argentina. EUDEBA.

Santaló, L. A. (1994). Aportes para seguir enseñando en Enfoques hacia una didáctica humanista de la Matemática. Argentina. Troquel.

Weyl, H. (2001). El modo matemático de pensar. Ecuador. Edibosco.

[1] Locke, John. (1632-1704). Escritor, filósofo y pensador inglés. Profesor en la Universidad de Oxford (Inglaterra).  Secretario de Comercio y Plantaciones (1696-1700) durante la monarquía de Guillermo de Orange. Sus principales obras en el campo de la educación son “Pensamientos acerca de la educación” y “La educación de los niños”.

 VOCABULARIO

• ostracismo. 

(Del gr. ὀστρακισμός).

1. m. Destierro político acostumbrado entre los atenienses.

2. m. Exclusión voluntaria o forzosa de los oficios públicos, a la cual suelen dar ocasión los trastornos políticos

• relegar.

(Del lat. relegāre).1. tr. Entre los antiguos romanos, desterrar a un ciudadano sin privarle de los derechos de tal.

2. tr. Desterrar de un lugar.

3. tr. Apartar, posponer. Relegar al olvido algo.

• introversión.

(De introverso).

1. 1.      f. Acción y efecto de penetrar dentro de sí mismo, abstrayéndose de los sentidos.