TOPÓLOGIA EN Rn
ESPACIOS MÉTRICOS
Definición: un espacio métrico es un conjunto M dotado de una función
d: M x M:---------R ,la cual asocia a cada par (p,q) Є MxM un número real d(p,q) que cumple con lo siguiente:
i. d(p,q)≥0, para todo (p,q)ЄM
ii. d(p,q)=0 si , y solo si p=q
iii. d(p,q)=d(q,p), para todo (p,q)ЄM
iv. d(p,q)≤ d(p,r) + d(r,s) , para todo p,q,rЄM
la función d recibe el nombre de métrica o distancia en M. Entonces un espacio métrico es un conjunto dotado de una métrica. Es decir un par (M, d)
(M- Conjunto, d- métrica)
Ejemplo 1: M=R, definamos d:RxR--------R
(p,q)-------- l p - q l= l q - p l
Veamos que d es una métrica en R, en efecto:
i. p,qЄR, entonces d(p,q)=l p – q l≥0
ii. d(p,q)=0 si, y solo si l p – q l=0 si , y solo si p – q=0 si, y solo si p=q.
iii. p,qЄR, entonces d(p,q)=l p – q l=l q – p l= d(q,p).
iv. p,q,rЄR, entonces d(p,q)=lp – q l = l(p-r)+(r-q)l ≤ lp-rl+lr-ql= d(p,r)+d(r,q).
Ejemplo 2: Espacio métrico discreto
Sea M un conjunto cualquiera no vacio y sea , d(x,y)=o, si x=y
d(x,y)=1, si x≠y
(M,d) se denomina el espacio métrico discreto.
Ejemplo 3: Sea M=Rn = {(x1,x2,x3,…,xi,…,xn) / xiЄR; i= 1,2,3,…,n} y sea
d: RnxRn--------R
(x,y)---------d(x,y)=(∑(xi-yi)2)1/2
d es una métrica sobre R, denominada la métrica usual o euclidiana (o euclidea).
