Saturday 16 may 6 16 /05 /May 01:40

Ternas pitagóricas

El problema de las ternas pitagóricas es:

Como encontrar todos los triángulos rectángulos con lados  A, B y C todos ellos números naturales?






Este problema fue resuelto por Diofànto aunque parece que la solución ya era conocida por los babilonios mucho antes. La solución que expongo aquí es la misma que dio Diofanto pero, claro está, en notación matemática moderna.

Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que para que exista un triángulo de esta
forma se tiene que cumplir que

                                                A  + B = C

O sea que la pregunta se transforma en: que números A y B naturales cumplen que la suma de sus cuadrados es un cuadrado?  Por ejemplo, A=1 y B=2 no lo verifican ya que la suma de sus cuadrados es 5, que no es un cuadrado. Por otra parte A=3 y B=4 si que lo verifican, ya que
la suma de sus cuadrados es 9+16=25 que es 5 al cuadrado.

A una solución (A,B,C) se la llama una terna pitagórica. Muchos ejemplos de ternas pitagóricas ya eran conocidos por los babilonios:
(3,4,5) , (6,8,10) , (5,12,13), ......................, (4961,6480,8161),........


Vamos a ver que existe una fórmula que nos da todas las soluciones. Lo hare en 4 pasos.

Paso 1:

La primera observación es que existen dos tipos de soluciones: las que se obtienen a partir de una menor multiplicando por un número y las que no. Por ejemplo la solución (6,8,10) ha sido obtenida multiplicando la solución (3,4,5) por 2. Por otra parte la solución (5,12,13) no se puede obtener así ya que el único número que divide a 5 es el mismo 5, que no divide a 12.

Observemos que de esta forma siempre podemos obtener soluciones ya que si
(A,B,C) es una solución y D es un número cualquiera, entonces

    (DA)+(DB) = D(A+ B) = DC=(DC)

y por lo tanto (DA,DB,DC) es también una solución.

Nos interesará encontrar soluciones (A,B,C) que no se puedan dividir a A, a B y
a C por un mismo número (o sea que A, B y C sean primos entre sí). Llamaremos a estas soluciones primitivas y a partir de ahora solo trataremos estas.

Paso 2:
Sea (A,B,C) una solución primitiva. Entonces no puede ser que exista un número D>1 que divida a A y B y no divida a C, ya que si D divide a A y B, entonces
D divide a  A  + B = C , y por lo tanto D divide a C. En particular A y B no pueden ser los dos pares. Veamos que no puede ser que sean los dos impares:
supongamos que lo fueran; entonces A=2I+1 y B=2J+1 para ciertos I y J. De donde tenemos que

C= A  + B = (2I+1)  + (2J+1) =  4I +4I +1 + 4J +4J +1=4(I + I +J +J) +2

Por lo tanto 2 dividiría a C, y por lo tanto 2 dividiría a C, de donde obtenemos que 4 dividiría a C. Pero 4 no divide a  4(I+I +J+J) +2, ya que no divide 2. (Usando la teoría de congruencias podríamos haber hecho este paso de forma mas rápida estudiando la ecuación módulo 4.)

Por lo tanto sabemos que uno de los dos es par y el otro es impar. Podemos suponer cambiando el orden que A es par y B es impar (y por lo tanto C es impar).

Paso 3:
Escribimos la ecuación  C= A  + B, pasando B restando al otro lado, como

A= C - B=(C-B)(C+B)

Tenemos que, como C y B son impares, tanto (C-B) como (C+B) como A son pares. Escribiremos A=2U,  C-B=2V  y C+B=2W para ciertos U, V y W. Obtenemos así la ecuación

(2U)=(2V)(2W)  y por lo tanto  U=VW,

y ademas, que C=V+W y que B=W-V.

Como no existe ningún número D que divida a B y a C a la vez (por el paso 1), tampoco puede existir ningún número D que divida a V y a W a la vez, ya que entonces D dividiría a V+W=C y a W-V=B.

Pero su producto VW=U es un cuadrado, por lo tanto cada uno de ellos es un cuadrado. Digamos que

V=M   y   W=N

para ciertos M y N números.  Tenemos por tanto que B=N-M,  C=N+M  y que A=4U=4VW=4MN, de donde A=2MN.

Paso 4:
Del paso 3 tenemos que si tenemos una terna pitagórica primitiva (A,B,C) con A par, entonces existen dos números N y M tales que

A=2NM,    B=N-M  y  C=N+M.

Observemos que N y M no pueden tener un divisor común ya que entonces A, B y C lo tendrían. Además N y M no pueden ser los dos impares, ya que entonces X e Y serian divisibles por 2.

Solo nos falta ver que dados cualquier N y M sin divisores comunes, entonces los tres números A, B y C construidos arriba son una terna pitagórica primitiva. Pero

A+B=(2NM)+(N-M)=4NM+N+M-2NM=N+M+2NM=(N+M)=C

y por lo tanto son una solución de nuestra ecuación.

Teorema: El conjunto de las ternas pitagóricas es el conjunto de los  múltiplos de ternas de la forma
( 2NM , N-M , N+M )
con  N y M números sin divisores comunes, N>M, con N o M par.
 

Por ejemplo, la terna (4,3,5)  se obtiene de N=2 y M=1; la terna (12,5,13) de N=3 y M=2; y la terna (6480, 4961, 8161)  de N=81  y M= 40.

Por otra parte tenemos un método para construir ternas pitagóricas: por ejemplo de N=72 y M=5 obtenemos (720,5159,5209).

Por diegofer - Comunidad: el mundo de las matematicas
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